业余时间，我们会碰到许多消遣性的标题，好比下面这个，怎样借助两个已知容量的容器将一个盛满液体的容器中的液体倒出一部门来。

下面我们来看一个例子。

一只12升的水杯盛满了水，尚有两只分别是9升和5升的空水杯，如何使用这两个空杯把杯子里的12升程度均分为两份？

实在，我们不必要真的拿水杯做试验来解答这个题目。只要我们把这个历程以表格的情势画出来就可以了。只要颠末不绝地实验，普通我们是可以或许找到办理方法的，不外泯灭的时间大概会比力长。

但是假如这时要求增多了，如倒出2杯6升、5升的水，2杯5升、5升的水，2杯4升、3升的水，2杯1升、2升的水……想要很快地办理这么多的要求，就很难办了。

那么有没有一种通用的快速的办理题目的方法呢？

近来，我在图书馆看到一本外洋的科普书《天啊，多少还能如许学》，内里就先容了一种办理倒水题目的通用方法，这种要领很有用，可以或许快速地办理倒水题目。

这个要领的解题思绪是通过建模，将倒水题目转化为多少题目。

一、创建模子

如上图所示，我们创建了一个多少模子OADCB，这个模子有以下特点：

1、模子中OA平行于BC，OB平行于AD，角AOB可所以0~180之间除0与180之外的恣意角度。

2、OA的长度为9，代表着9升的水杯中的水量，OA被a1~a8中分为9等份。

3、OB的长度为5，代表着5升的水杯中的水量，OB被b1~b4中分为5等份。

4、AD长度即是12-9=3，代表12升水杯中的水倒满9升水杯最多还能往5升水杯中倒入3升水，AD被d1、d2中分为3等份。

5、BC长度即是12-5=7，代表12升水杯中的水倒满5升水杯最多还能往9升水杯中倒入7升水，BC被c1~c6中分为7等份。

6、CD上的点代表12升水杯中的水已全部倒入9升、5升水杯中，BC被d4中分为2等份。

二、模子上点的坐标及其寄义

假如我们以OA为x轴，OB为Y轴，12升水杯中剩余的水量表现Z轴上的数字。那么，我们就能表现出OA、OB、BC、CD、AD上恣意一点的坐标。

下面我举几个例子：

1、O点坐标（0，0，12）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为0、0、12，这时12升水杯中的水量即是OA+AD=9+3=12。

2、a2点坐标（2，0，10）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为2、0、10，这时12升水杯中的水量即是a2A+AD=7+3=10。

3、d1点坐标（9，1，2）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为9、1、2，这时12升水杯中的水量即是d1D=2。

4、d4点坐标（8，4，0）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为8、4、0，这时12升水杯中的水量即是0。

5、c3点坐标（3，5，4）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为3、5、4，这时12升水杯中的水量即是c3C=4。

6、b2点坐标（0，2，10）表现9升、5升、12升水杯中水量分别为0、2、10，这时12升水杯中的水量即是b2B+BC=3+7=10。

从中，我们可以发觉，模子中全部点的坐标代表了各个水杯中剩余水量的全部情况。

三、倒水历程特性阐发

接下来我们联合模子来阐发倒水历程有哪些特性：

1、5升水杯倒出水历程阐发：

假如我们将5升水杯中的水倒入9升大概12升水杯中，只大概显现下面2种情形。

a、可以将水杯中剩余的水全部倒入12升、9升水杯中，这时5升水杯中剩余水量为0，对应模子中OA上的点。

5升水杯中剩余水为0，这时只有线段OA上的点餍足要求

b、可以将5升水杯中水部门倒入9升水杯中，这时9升水杯盛满水，5升水杯剩余水量不为0，对应模子中d1D上的点。

9升水杯盛满水，5升水杯剩余水量不为0，这时只有AD上除A以外的点餍足要求

2、9升水杯倒出水历程阐发：

假如我们将9升水杯中的水倒入5升大概12升水杯中，只大概显现下面2种情形。

a、可以将9升水杯中剩余的水全部倒入12升大概5升水杯中，这时9升水杯中剩余水量为0，对应模子中OB上的点。

9升水杯中剩余水为0，这时只有线段OB上的点餍足要求

b、可以将9升水杯中部门水倒入5升水杯中，这时5升水杯盛满水，9升水杯中剩余水量不为0，对应模子中c1C上的点。

5升水杯盛满水，9升水杯剩余水不为0，这时只有线段BC上除B以外的点餍足要求

3、12升水杯倒出水历程阐发：

假如我们将12升水杯中的水倒入5升大概7升水杯中，只大概显现下面2种情形。

a、可以将水杯中剩余的水全部倒入5升、9升水杯中，这时12升水杯中剩余水量为0，对应模子中CD上的点。

12升水杯中剩余水为0，这时只有线段CD上的点餍足要求

b、可以将12升水杯中部门水倒入5升水杯中大概9升水杯中，，这时5升水杯盛满水大概9升水杯盛满水，12升水杯中水量不为0，对应模子中Ba6、Ad2上的点。

这时除点C、D外，线段BC、AD上其他的点均餍足要求

通过上述阐发，我们能发觉以下纪律：

1、每次倒完水，只会显现2种情况：

a、12升、9升、5升水杯中，至少有1个水杯的水量为0。

b、12升、9升、5升水杯中，至少有1个水杯倒满了水。

2、由于倒水未开始前的状态是点O，是以，整个倒水历程，各水杯中的水量，只大概用线段OA、OB、BC、CD、AD上的点表现，无法用OADCB内的点表现。

四、模子中的倒水线路阐发

有了上面3个结论，我们就能阐发出每次倒完水所对应模子中的线路是如何的：

我们取a2点（2，0，10）举行阐发，此时9升、5升、12升水杯中水量分别为2升、0升、10升。

1、a2点在OA上的活动。

a、起首，我们可以肯定，a2（2，0，10）可以活动到O（0，0，0）、A（9，0，3）点。

如：从a2（2，0，10）活动到O（0，0，0）点，对应的倒水行动是，将9升水杯中的水全部倒入12升水杯中。

如：从a2（2，0，10）活动到A（9，0，3）点，对应的倒水行动是，将12升水杯中的水倒满9升水杯。

b、a2点可否活动到OA上除O、A之外的其他点？如a1、a3……

如：从a2（2，0，10）活动到a3（3，0，9）点，对应的倒水行动是，将12升水杯中的水往9升水杯中倒入1升水。我们知道这是不行能办到的。

同理从a2（2，0，10）活动到OA上除O、A之外的其他点也是不行能的。

结论：a1~a8点在OA上只能活动到线段OA两头点（O、A）。

2、a2点往OB上活动。

a、起首，我们可以肯定，a2（2，0，10）可以活动到b2（0，2，10）点。

这时的倒水行动是，将9升水杯中的2升水全部倒入5升水杯中。（在三角形Oa2b2中，Oa2=Ob2）

b、a2点可否活动到OB上除O、b2之外的其他点？如b1、b3……

如：从a2（2，0，10）活动到b3（0，3，9）点，对应2步倒水行动，步调1是将9升水杯中剩余的2升水全部倒入5升水杯中，对应的门路是a2b2，步调2是将12升水杯中水往5升水杯中倒入1升水，对应的门路是b2b3。

我们知道这是不行能的，起首是倒水用了2个步调，与我们每次只能倒1次水是不符的，其次b2到b3这个步调的倒水，前面我们已经阐发这是不行能的。

结论：a2点往OB上活动，只能活动到b2点。

3、a2点往BC上活动。

a、起首，我们可以肯定，a2（2，0，10）可以活动到c2（2，5，5）点。

这时的倒水行动是，将12升水杯中的水倒满5升水杯，9升水杯中剩余2升水稳定。

b、a2点无法活动到BC上除a2外的其他点，由于活动到其他点至少必要活动2步。

4、a2点往CD、AD上活动。

我们知道这是不行能的，由于a2无论活动到d1、d2、D、d4、C中的哪一点，都至少必要2步。

从上面的阐发，我们发觉：

1、a2点只能活动到O、A、b2、c2这4个点上。

2、同理b3只能活动到O、B、a3、D这4个点上。

3、同理c4只能活动到B、C、a4、A这4个点上。

……

（除端点以外的别的点都有4个活动选择）

4、端点O只能活动到A、B两点，端点A、D、C、B均有3个活动选择。

如端点A只能活动到点O、C4、D上。

五、用模子办理倒水题目

有了上面的结论，我们只需在模子中画出我们必要的线路，如许我们的题目就天然而然地得到办理了。

这时，倒水题目就变化为多少绘图题目。

要将12升的程度分为2份6升，模子上对应的点是a6（6，0，6），我们只必要从a6点逆向动身，找到到达O点的门路，再将线路倒返来，就得到相识题的方法了。

运用这种思绪，我们很快就能得到3条线路：

1、线路1：O-B-a5-c5-d1-b1-a1-c1-a6。（8步）

上面线路中的倒水历程，我们用表格的情势画出来：

2、线路2：O-B-C-a7-c2-a2-b2-d2-c6-a6。（9步）

上面线路中的倒水历程，我们用表格的情势画出来：

3、线路2：O-A-c4-a4-b4-d4-a8-c3-a3-b3-D-C-a7-c2-a2-b2-d2-c6-a6。（18步）

上面线路中的倒水历程，我们用表格的情势画出来：

这种建模要领，我们还可以举行推广，用来办理其他范例的倒水题目。

好了，今日的分享就到这里了。

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