中考数教压轴题阐发：倍长中线

【中考真题】

（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，毗连DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，毗连EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的款式表现）；

（2）当点E在线段CA的延伸线上时，依题意补全图2，用等式表现线段AE，EF，BF之间的数目干系，并证明．

【阐发】本题图形非常简便，标题就给出了一个直角三角形，并且内部也显现一个直角三角形。如许的图形照旧比力常见的呢。

题（1）比力简洁，由于都是中点，以是很简单得出EF的长度。

可以发觉

AE²+BF²＝EF²。

题（2）是问当点E在CA的延伸线时求三条线段的干系。要害便是画出图形再举行阐发。

有了题（1）的结论，我们可以推测结论仍旧建立。普通此类标题的结论都是不会改变的。

因为点D为中点，是以可以思量用倍长中线的要领。

倍长中线法

如图，倍长ED至点M，再毗连BM、MF即可得到Rt△BMF，结论易得。

本题实在在刚学勾股定理的时间也会碰到，不知道家人们是否有印象。标题只是稍加改编。

【答案】解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，

∴DE∥BC，DE=1/2BC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，

∴四边形CEDF是矩形，

∴DE＝CF=1/2BC，

∴CF＝BF＝b，

∵CE＝AE＝a，

∴EF=√(CF²+CE² )=√(a²+b²)；

（2）AE²+BF²＝EF²．来由如下：

过点B作BM∥AC，与ED的延伸线交于点M，毗连MF，

则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，

∵D点是AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADE和△BDM中，

∠AED=∠BMD，∠ADE=∠BDM，AD=BD，

∴△ADE≌△BDM（AAS），

∴AE＝BM，DE＝DM，

∵DF⊥DE，

∴EF＝MF，

∵BM²+BF²＝MF²，

∴AE²+BF²＝EF²．