中考数教压轴题阐发：扭转类似

【中考数学】

（2020•深圳）配景：一次小组互助探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在统一条直线上），发觉BE＝DG且BE⊥DG．

小组商议后，提出了下列三个题目，请你关心解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针偏向扭转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不克不及，请阐明来由；

（2）把配景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针偏向扭转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的巨细餍足如何的干系时，配景中的结论BE＝DG仍建立？请阐明来由；

（3）把配景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针偏向扭转（如图3），毗连DE，BG．小组发觉：在扭转历程中，DE²+BG²的值是定值，恳求出这个定值．

【阐发】

题（1）目测线段相称，使用SAS即可证明结论；

题（2）便是在题（1）的底子上举行求解即可，也是SAS的全等；

题（3）酿成了相似。但是结论变了。此类标题怎么做呢？

图形扭转历程中要求DE²+BG²的定值。我们可以先定一个出发点，算出其数值，然后再扭转90°算出一个数值，两个一比拟就知道是不是定值了。再依据两个图形的解法得出普通的求解历程。

毗连EG、BD得到一个四边形。观看发觉对角线BE与DG是相互垂直的。

以是我们可以得到

DE²＋BG²＝EG²＋DQ²＋GQ²＋BQ²＝BD²＋EG²。

再转化为

AE²＋AG²＋AB²＋AD²＝260。

【答案】解：（1）∵四边形AEFG为正方形，

∴AE＝AF，∠EAG＝90°，

又∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠EAB＝∠GAD，

∴△AEB≌△AGD（SAS），

∴BE＝DG；

（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，

来由如下：

∵∠EAG＝∠BAD，

∴∠EAB＝∠GAD，

又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，

∴AE＝AG，AB＝AD，

∴△AEB≌△AGD（SAS），

∴BE＝DG；

（3）【要领一】

过点E作EM⊥DA，交DA的延伸线于点M，

过点G作GN⊥AB交AB于点N，

由题意知，AE＝4，AB＝8，

∵AE/AG=AB/AD=2/3，

∴AG＝6，AD＝12，

∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，

∴△AME∽△ANG，

设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，

∴ED²＝（2a）²+（12+2b）²＝4a²+144+48b+4b²，

GB²＝（3a）²+（8﹣3b）²＝9a²+64﹣48b+9b²，

∴ED²+GB²＝13（a²+b²）+208＝13×4+208＝260．

【要领二】

如图2，设BE与DG交于Q，

∵AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8

∴AG＝6，AD＝12．

∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，

∴∠EAG＝∠BAD，

∴∠EAB＝∠GAD，

∵EA/AG=AB/AD，

∴△EAB∽△GAD，

∴∠BEA＝∠AGD，

∴A，E，G，Q四点共圆，

∴∠GQP＝∠PAE＝90°，

∴GD⊥EB，

毗连EG，BD，

∴ED²+GB²＝EQ²+QD²+GQ²+QB²＝EG²+BD²，

∴EG²+BD²＝4²+6²+8²+12²＝260．