中考数教压轴题阐发：正方形取中线倍长

【中考真题】

（2020·安顺）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．

（1）题目办理：如图①，毗连BO，分别取CB，BO的中点P，Q，毗连PQ，则PQ与BO的数目干系是　 　，位置干系是　 　；

（2）题目探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针偏向扭转45°得到的三角形，毗连CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，毗连PQ，PB．推断△PQB的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针偏向扭转45°得到的三角形，毗连BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，毗连PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．

【阐发】

题（1）只需写出结论，观看即可；

题（2）通过观看，易得△PQB为等腰直角三角形，与题（1）的结论雷同。

那怎么证明呢？

点P、Q都是中点，那么就可以思量与中点有关的帮助线。

①1其中点的时间可以思量倍长；

②2其中点的时间还可以思量中位线。

如上图，分别延伸EO′与BP并交于点R。易得PQ是△O′RB的中位线。

因为ER=CB=AB，以是得到O′R=O′B，进而可以得到结论。

固然，还可以举行上图的结构，要领也是雷同。

要害点在于得到CR=O′E=AO′，以是得到BR＝BO′。

题（3）的图实在照旧与题（2）有联络，只是条件与结论稍作调解。

如上图所示，倍长BP至点R，毗连ER，O′R，O′P，以是可以得到图中两对绿色和赤色的三角形权等等，进而得到△O′BR为等腰直角三角形，而△BPQ的面积是它的1/4。

如上图所示，也可以得到△O′BP为等腰直角三角形，即可得到△BPQ的面积为它的一半。

【答案】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，

∴BO⊥AC，BO＝CO，

∵P为BC的中点，Q为BO的中点，

∴PQ∥OC，PQ=1/2OC，

∴PQ⊥BO，PQ=1/2BO；

故答案为：PQ=1/2BO，PQ⊥BO．

（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．来由如下：

毗连O'P并延伸交BC于点F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵将△AOB绕点A按顺时针偏向扭转45°得到△AO'E，

∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，

∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，

又∵点P是CE的中点，

∴CP＝EP，

∴△O'PE≌△FPC（AAS），

∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，

∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，

∴BO'＝BF，

∴△O'BF为等腰直角三角形．

∴BP⊥O'F，O'P＝BP，

∴△BPO'也为等腰直角三角形．

又∵点Q为O'B的中点，

∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，

∴△PQB的形状是等腰直角三角形；

（3）延伸O'E交BC边于点G，毗连PG，O'P．

∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

∴∠ECG＝45°，

由扭转得，四边形O'ABG是矩形，

∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，

∴△EGC为等腰直角三角形．

∵点P是CE的中点，

∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，

∴△O'GP≌△BCP（SAS），

∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，

∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，

∴∠O'PB＝90°，

∴△O'PB为等腰直角三角形，

∵点Q是O'B的中点，

∴PQ=1/2O'B＝BQ，PQ⊥O'B，

∵AB＝1，

∴O'A=√2/2，

∴O'B=√(O'A²+AB² )=√((√2/2 )²+1² )=√6/2，

∴BQ=√6/4．

∴S△PQB=1/2BQ•PQ=1/2×√6/4×√6/4=3/16．