中考数教压轴题阐发：比例干系的转化

【中考真题】

（2020•福建）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针偏向扭转90°得到，且点B的对应点D恰恰落在BC的延伸线上，AD，EC相交于点P．

（1）求∠BDE的度数；

（2）F是EC延伸线上的点，且∠CDF＝∠DAC．

①推断DF和PF的数目干系，并证明；

②求证：EP/PF=PC/CF．

【阐发】

题（1）由扭转的性子得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；

题（2）①证明边相称，转化为证明△DPF中对应的两个内角相称。已知两个蓝色的角相称，只需证明两个赤色的角为45°即可得到结论；

题（2）②证明成比例的四条线段是共线的，想直接证明并不简单。是以必定必要举行转化。

观看这4条线段，它们之间照旧有必然干系的：

EP+PC=EC，CF+PC=PF。

是以可以思量对本来的等式双方同时加上1，即

EP/PF+1=PF/CF+1，

双方通分，得

EF/PF=PF/CF，

竟然显现了两个PF，也便是

PF²=EF·CF，

这时间离结论就比力近了，

题①证明白PF=DF，以是直接转化为

DF²=EF·CF，

那么只必要证明△DCF∽△EDF即可。

因为

∠DEF=∠AED-45°=∠ACB-45°=∠DAC=∠CDF，

以是结论得证。

固然，也可以使用平行线分线段成比例的方法举行证明，通过结构帮助线即可。

过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性子得出HF＝CF，则可得出结论．

【答案】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针偏向扭转90°得到，

∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，

在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，

∴∠ADE＝∠B＝45°，

∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．

（2）①DF＝PF．

证明：由扭转的性子可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，

在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，

∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，

即∠FPD＝∠FDP，

∴DF＝PF．

②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，

∴∠HPF＝∠DEP，EP/PF=DH/HF，

∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，

∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，

∴∠DEP＝∠DAC，

又∵∠CDF＝∠DAC，

∴∠DEP＝∠CDF，

∴∠HPF＝∠CDF，

又∵FD＝FP，∠F＝∠F，

∴△HPF≌△CDF（ASA），

∴HF＝CF，

∴DH＝PC，

又∵EP/PF=DH/HF，

∴EP/PF=PC/CF．