中考数教压轴题阐发：比例干系

【中考真题】

（2020•广西）如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，毗连AD，且∠DAE＝∠ACE，毗连OD并延伸交AE的延伸线于点P，PB与⊙O相切于点B．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）毗连AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；

（3）若tan∠OAF=1/2，求AE/AP的值．

【阐发】

题（1）证明∠OAP为直角即可，难度不大；

题（2）必要证明两个三角形相似，依据切线长定理与圆周角定理的推论易得∠ADE＝∠AFD＝90°，然后再证明∠AED＝∠ADF（为∠C与∠ODC的余角）即可；

题（3）属于本题的焦点。已知tan∠OAF的值，那么就可以得出OF与AF的比值，进而得到AF与FP的比值。

因为题（2）的相似得到∠DAF＝∠DAE，是以图形是牢固的。要求AE/AP的比值并不难。

因为标题并未见告线段长度，是以可以思量设未知数。依据设小不设大的原则，可以设OF=x大概1，然后表现出别的线段的长度即可。

设OF=1，则可以得到别的边的长度。

接下来求法就比力多了，好比直接求出AD和DE的值，在求出AE的值，即可得出比例干系。

固然，也可以思量把比例转化为相似。由于AP=2OA=AC，以是直接把AE/AP转化为AE与AC的比值即可。依据相似直接酿成AF与FD的比值。

另有，依据角的中分线的性子，作垂线DH⊥AP，然后得出DH、AH和EH的长度即可。

【答案】解：（1）∵AC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵∠DAE＝∠ACE，

∴∠DAC+∠DAE＝90°，

即∠CAE＝90°，

∴AP是⊙O的切线；

（2）毗连DB，如图1，

∵PA和PB都是切线，

∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB，PO⊥AB，

∵PD＝PD，

∴△DPA≌△DPB（SAS），

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠BAD，

∵∠ACD＝∠ABD，

又∠DAE＝∠ACE，

∴∠DAF＝∠DAF，

∵AC是直径，

∴∠ADE＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠AFD＝90°，

∴△FAD∽△DAE；

（3）∵∠AFO＝∠OAP＝90°，∠AOF＝∠POA，

∴△AOF∽△POA，

∴OF/OA=AF/PA，

∴OA/PA=OF/AF=tan∠OAF=1/2，

∴PA＝2AO＝AC，

∵∠AFD＝∠CAE＝90°，∠DAF＝∠ABD＝∠ACE，

∴△AFD∽△CAE，

∴FD/AE=AF/CA，

∴FD/AF=AE/CA=AE/AP，

∵tan∠OAF=OF/AF=1/2，

没关系设OF＝x，则AF＝2x，

∴OD=OA=√5 x，

∴FD=OD-OE=(√5-1)x，

∴FD/AF=((√5-1)x)/2x=(√5-1)/2，

∴AE/AP=(√5-1)/2．