小乐数教科普：欧拉写给德国公主的疑（节选3篇，法译英译中）

小乐译注：

大数学家：莱昂哈德·欧拉

曾任拿破仑的老师，天体力学之父，法国科学院院士，数学家，物理学家，拉普拉斯，曾经说过：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们全部人的老师。” 可以说，莱昂哈德·欧拉是汗青上数百年难逢的大数学家，也是一个重量级的科普事情者，他曾应邀为德国公主函授哲学、物理学、宇宙学、化学、音乐等多个科学和艺术分支的知识。为此他于1760年至1762年间，写下了一系列共234篇文笔美丽的文章，分成三卷分别于1768年的圣彼得堡和1774年的法兰克福初次出书，它们充实表现了欧拉赅博的知识、极高的文学修养和哲学修养。

欧拉写给德国公主的信1768年出书

欧拉写给德国普鲁士王室公主的信，原文是法文，立即被他在圣彼得堡的门生Stepan Rumovsky翻译成俄语。这三卷法语版的信，于1787年至1789年这三年在巴黎被分别重印。 而苏格兰牧师亨利·亨特在1795年将其领先翻译成英文版。现在国内还没有中文版，只看到2018年高等教诲出书社引收支版了英文版。本文是zzllrr小乐基于英文版（苏格兰圣安德鲁斯大学数学与统计学院官网提供）翻译而成的中文节选，可以称为是法译英译中，而基于本来法文版直接翻译成中文的完备中文版，因为难度较大和周期较长，小乐将于后续时间予以开源公布。

译文：

欧拉给德国公主的信是用法语写给普鲁士王室成员15岁的弗里德里克·夏洛特公主的。当他开始写信时，欧拉时年53岁，是柏林普鲁士科学院数学系主任。从1760年开始的两年时间里，他给公主写了234封信。初次出书三卷（1768年在圣彼得堡出书第一、二卷，1774年在法兰克福出书第三卷），孔多塞侯爵（Marquis de Condorcet）和西尔维斯特·弗朗索瓦·拉克鲁瓦（Sylvestre François Lacroix）于1787年，1788年和1789年在巴黎重印。巴黎版本被苏格兰牧师亨利·亨特（1741 - 1802）翻译成英文 ，并在1795年颁发。亨特在媒介中写道：

“我信赖，如今是英国每个女性学院的客堂，每天早餐桌上摆着欧拉之书或雷同册本的时间了；当一个年轻的女性在进修糕点宁静常事情的有效本领的同时，也大概想去熟习月相，潮汐的流淌和退潮。并且我说服她略微进修一点声音理论，或许会弹奏吉他或敲击羽管键琴的琴键，她本人和其他人都较为同意。我已经将这种要领的权利交给她了。假如她纰漏了，那将是她的错，也是她的愚笨。”

我们鄙人面给出这些信的三个示例。在前两封信中，我们细致到该作品的差别版本包罗差别的器量。我们保存欧拉的原始器量，即他利用的德国英里（一德国英里即是四又五分之三4⅗英国英里）。我们还连结欧拉对太阳系的了解。厥后的版本增添了其他已发觉的行星和小植物，如谷神星等。这封信原始日期是1760年，是以会带来狐疑。我们尽大概选择最靠近欧拉原信的表达方法。

1、关于“数目级”（或延拓）
荣幸能与殿下交换多少课的盼望变得越来越迢遥，这让我简单感触难过，以誊写的方法提供小我私家引导时，觉得本身会被推着直达主题的天性。
我先实验关心您形成一个关于数目级的观点。比方，孕育发生在宇宙体系中现实可发觉的最小和最大物质的延拓水平。起首，有须要牢固一种确定的量度分别，我们对这种分度有一个确切的观点，也显着觉得得到，比方，一英尺（也即一脚长度）。一旦确定了一英尺的巨细，眼睛也对它熟习了，它将使我们可以或许形成关于其他或大或小的长度观点；前者通过其包罗几多英尺来确定；后者通过用脚的哪一部门来丈量来权衡。由于，有了一英尺的观点，我们就得到了它的一半，四分之一，十二分之一英寸（定名为1英尺），百分之一和千分之一（很小险些看不到）。但是要指出的是，有一些动物，其延伸水平不凌驾一英尺的最终一个部门，但是这些动物是由使其血液轮回的成员构成，这些成员又包罗其他动物，正如它们与我们相比。是以可以得出结论，存在着动物，它们的小巧使人不可思议。并且也可以分成不可思议的小部门。是以，只管一英尺的非常之一太小了以至于看不见，而且与我们相比，它不再是一种觉得的工具，但它在数目上却凌驾了某些完备的动物；并且，对付此中一种动物来说，它具有感知力的话，必定体现得非常庞大。
如今让我们从这些微小的数目转到那些心智上爱莫能助的最大数目。你有1英里的观点；是以到马格德堡的间隔被盘算为18 英里（德国英里）；一英里（德国英里）包罗24，000英尺，我们用它权衡环球范畴内差别地域的间隔，以幸免数字不行思议的大（假如我们利用的英尺，而不是英里，情形肯定云云）。一英里包罗24，000英尺，从柏林到马格德堡是18英里，如许说比说这两个都会的间隔是432，000英尺（一个太大险些难以了解的数字）越发清楚。再如，当我们被见告其周长约5，400英里，我们对地球巨细有一个相称符合的观点。直径是穿过球体（这是公认的地球图形，是以我们也将其定名为地球）中间并在外貌上以相反偏向完结的直线段，地球直径被盘算为1720英里；这便是我们用来确定天上可发觉的最大间隔的器量。在全部天体中，玉轮间隔我们近来，仅相距约30个地球直径，巨细是51，600英里或1，238，400，000英尺; 但是最清楚的观点是起首对30个地球直径举行盘算。太阳与我们的间隔约莫是玉轮与我们间隔的400倍，而当我们说这个间隔是9，000个地球直径，会比用英里或英尺表现更清晰易懂。
您知道地球在一年的时间内围围着太阳扭转一次，但是太阳连结不动。在地球阁下，另有五个其他雷同的天体，称为行星，它们绕太阳扭转。此中两个间隔较小，即水星和金星，三个间隔较大，即火星，木星和土星。我们看到的全部其他恒星，除彗星外，都称为牢固不动的。他们离我们的间隔比太阳大得多。它们之间的间隔无疑黑白常不相称的，这便是此中一些天体看起来比其他天体更大的缘故原由。但毫无疑问，它们中近来的比太阳更远5，000倍：是以与我们的间隔，凌驾45，000，000个地球直径，也便是77，400，000，000英里，如用英尺的话，还要再乘以24，000，间隔更惊人。终究，这还只是离我们近来的那些恒星的间隔；我们看到的最迢遥的地方或许相距一百倍。同时，这些恒星大概合在一路仅组成整个宇宙的一小部门，这些惊人的间隔相对付整个宇宙，并不比一粒沙相对付地球那样大。这种一望无际是万能者所为，他统治着最大和最小的天体。

柏林 1760年4月19日。
2、关于“速率”
我自诩殿下很快乐担当我的引导，即在前一封信中我自由向您先容的，我动手揭开“速率”的观点，这是延拓的一种，并简单增添和淘汰。当任何物质被运输时，即当它从一个地方通报到另一个地方时，我们将其归因于“速率”。让两小我私家从柏林到马格德堡，一小我私家骑马，另一小我私家步辇儿，在两种情形下，我们都有一个特定速率的观点。但立即得知，前者的速率凌驾后者。
那么题目来了：我们观看到的这些速率差别在那边？骑行者和步辇儿者的路是雷同的；但是区别明显在于每小我私家花在雷同门路的时间。骑马者的速率是两者中较快的，由于他在从柏林到马格德堡的路上耗费的时间更少。而步辇儿者的速率较慢，由于他在雷同间隔上耗费更多的时间。是以很显着，为了形成正确的速率观点，我们一定引入两种量：即门路的长度和所用的时间。是以，统一时间，一个物体所颠末的空间间隔是另一个物体的两倍，则有双倍的速率。假如统一时间，通过间隔是三倍，就说速率是三倍，依此类推。因而我们该当了解，物体的速率，便是指在必然长的时间内它所颠末的空间间隔。
为了知道我的脚步速率，当我走到Lützow（德国市名）时，我观看到我在一分钟内走了120步，而我的一步即是两英尺半。因而我的速率，便是每分钟300英尺，或每小时18，000英尺（60倍间隔，但并不即是一英里，即24，000英尺，那必要一个小时20分钟）。是以，假如我要从那步辇儿到马格德堡，恰恰必要24小时。这转达了我可以或许行走的速率的一个正确观点。如今可以很简单地了解一个或大或小的速率。由于假如要一个快递员在12小时内从这到马格德堡，他的速率将是我的两倍。假如他走了八个小时，他的速率将是我的三倍。我们细致到速率的差别非常大。乌龟提供了微小的速率示例。假如她在一分钟内只进步一英尺，她的速率是我的300倍慢，由于同样时间我走300英尺。同样我们对高速率也越发熟习。风的改变很大。中等风速以每秒10英尺的速率流传，大概一分钟600英尺；是以它的速率是我的两倍。一秒钟能跑20英尺或一分钟能跑1200英尺的风很大。每秒50英尺的速率飞行的风非常剧烈，只管其风速仅是我的十倍，而且要花2小时24分钟才气吹到马格德堡。
接下来是声速，其1秒钟移动1000英尺，即每分钟60，000英尺。是以，该速率是我步调的200倍；一门加仑炮在马格德堡放射，假如在柏林可以听到，它将在七分钟内到达那边。炮弹球以险些雷同的速率移动；但是当炮弹被加载到极限时，炮弹球可以或许每秒飞行2，000英尺，大概说每分钟120，000英尺。这个速率看起来是惊人的，只管只是我步辇儿去Lützow的速率的400倍。同时它是地球上已知的最大速率。但天体中却有速率大得多，只管它们的活动彷佛是不慌不忙的。你知道地球在24小时内绕其轴扭转一圈：它的外貌赤道下的每一个点，24小时移动5，400英里，而我只能走18英里。是以，它的速率是我的速率的300倍以上，只管比炮弹的最大大概速率还小。地球在一年的时间内绕太阳公转，在24小时内以128，250英里的速率进步。是以，它的速率是炮弹18倍。毫无疑问，我们所知道的最大速率是光的速率，它每分钟移动2，000，000英里，而且是炮弹速率的4000，000倍。

1760年4月22日

3、源自优美音乐的欢乐
这是一个与奇怪一样紧张的题目，精致的音乐从何而来引发愉悦的心情呢？有学问的人在这方面答案有所差别。有人以为这仅仅是随性罢了，音乐孕育发生的情趣不是创建在理性的底子上的，由于甲之蜜饯乙之砒霜。除了确定题目之外，这只会使题目越发庞大。必要确认的一点是，因为全部人都认可无因就无果，那么统一首音乐怎样孕育发生云云差别的成效的呢？其他人则以为，美丽音乐带来的愉悦在于对弥散在音乐中的秩序的感知。
乍一看，这种看法是有充实依据的，值得更认真地研究。音乐出现两种工具，此中秩序是必不行少的。此中一个与锋利或平展腔调的差别有关。您会回想起，它包罗每个音符在统一时间举行的振动次数。在全部声音的振动速率之间可以察觉到的这种差别，便是所谓的和声(harmony)。一首音乐的成效便是孕育发生和声，我们能觉得到构成它的全部音符的振动之间的干系。是以，两个相差八度音阶的音符引发出1到2的觉得；相差五分之一，得到2到3; 相差三分之一，得到4到5。
当我们知道全部组成其音符的干系时，我们便了解了调和的秩序。而耳朵的感知导致了这种知识。这种觉得，或多或少是玄妙的，决定了为什么一小我私家而不是另一小我私家觉得到雷同的和声，尤其是当音符的干系用更大的数字表现时。音乐除了和声之外，还包罗另一个同样简单受到秩序影响的工具，即末节(measure)，通过末节，我们为每个音符安排必然的连续时间。对是非的感知在于对连续时间的相识以及由此孕育发生的干系。
铜鼓是一种末节单独起作用的音乐例子，由于此中全部音符相互一样，没有调和。雷同地，另有一种音乐是完全调和，没有是非。这种音乐是合唱，此中全部音符的连续时间雷同。但是完善的音乐将和声与末节融为一体。是以，观赏音乐的观赏家，通过对耳朵的敏锐感知，相识创建和声与末节的全部比例，固然对这首音乐拥有最美满的知识：仅仅部门或基础不相识这些比例的人，对此题目一窍不通，大概至多对它相识甚少。但是，美丽的音乐引发了愉悦的觉得，必定不克不及与我所讲的知识等同，只管可以肯定地说，一首音乐不克不及孕育发生任何工具除了孕育发生能被人们感知的干系。仅仅由于这种知识不敷以引发愉悦感。必要某种别的的工具，迄今为止没有人展示过的。
为了确信仅对音乐的全部比例的感知不敷以孕育发生愉悦，您仅需思量非常简洁的布局的音乐，比方仅以八度为单元的音乐，此中比拟例的感知为无疑是最简洁的。只管您大概对音乐有最美满的相识，但这种音乐远不克不及带来愉悦。可以说，享乐必要的知识不是那么简单得到的，而这种知识会带来一些贫苦，会让我们支付一些价钱，假如许可我这么表达。但是，我以为这不是令人中意的办理方案。用最高的数字表现干系的不协和和弦越发困难。然而，一系列的反面谐和弦，没有选择，没有设计就无法媚谄人。
一位观赏家倾听如许的乐曲，了解作曲家所思量的除了比例之外的适当打算和设计，将感触餍足，这正是精巧音乐带来的愉悦，使人们风俗于观赏诱人的艺术中的美感和体贴。它是通过某种水平上探测作曲家的看法和觉得而孕育发生的，当荣幸的时间，作曲家的演出使心灵满盈了愉悦的觉得。这种中意与从演出精深的哑剧的寓目中得到的餍足有些相似，在此中，您可以通过手势和行动来推测要表达的情绪和对话，以及易意会的打算。排除烟囱者之谜，让殿下感触很有味，为我提供了另一个杰出的比力。当您猜出觉得并发觉它在谜题的命题中得到了完善的表达时，您会感触非常明智的发觉。但是平庸无奇的谜语却一无所得。假如许可我推断的话，这便是决定音乐作品杰出性的所依据的真实原则。
1760年5月6日